Buscar maxima y minima en funciones trigonométricas
En esta ocasión intenté encontrar las máximas y mínimas de funciones trigonométricas sin usar derivadas, casi todas las fórmulas fueron obtenidas de manera empírica. No sé si estas fórmulas ya esten descritas en algún otro lugar (Salvo las que obviamente ya son conocidas).
Una manera de cambiar la distancia entre valle y valle de una función trigonométrica es tocando el argumento en su interior:
E. g.
| Cambia el periodo | No cambia el periodo |
|---|---|
| \(\sin(2x)\) | \(2\sin(x)\) |
Sin embargo, podemos estimar el cambio en el periodo cuando éste se cambia:
Si:
Entonces:
Nota: Esto solo parece funcionar cuando \(k\) es constante.
Además, usando la información anterior podremos movernos por la función, cuidando que se cuide el desfase en la función (E. g. \(\sin(x+\text{desfase})\)):
Si:
Entonces:
Para localizar un máximo:
Donde:
- \(k\): La constante que modifica a \(x\) dentro de la función.
- \(d\): El desfase de la función.
- \(s\): El número de máximo que se quiere encontrar.
- \(w\): Puede ser -1 o 1, dependiendo si se quiere buscar un máximo a la derecha o a la izquierda.
- \(2\): Para mantener la búsqueda dentro de los máximos. Si se quita, la búsqueda fluctúa entre máximos y mínimos.
Para localizar un mínimo:
Donde:
- \(k\): La constante que modifica a \(x\) dentro de la función.
- \(d\): El desfase de la función.
- \(s\): El número de mínimo que se quiere encontrar.
- \(w\): Puede ser -1 o 1, dependiendo si se quiere buscar un mínimo a la derecha o a la izquierda.
- \(2\): Para mantener la búsqueda dentro de los mínimos. Si se quita, la búsqueda fluctúa entre mínimos y máximos.
Si:
(Véase Identidades trigonométricas)
Entonces:
Para localizar un máximo o un mínimo:
Véase el uso de \(\sin(kx+d)\).
Nota: Las fórmulas anteriores (después de \(\left (\frac{1}{k} \right)\left (\frac{\pi}{2} \right)\)) sí funcionan (mayormente) si se usa una \(k\) o \(d\) no constante, pero no siempre encuentra todos los mínimos y máximos. E. g. \(k=\sin(x)\).